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Modélisation volumique

 

Dans un modeleur volumique, les objets 3D ne sont plus traités comme un ensemble de polygones mais comme des volumes à part entière. Une sphère est décrite par son centre et son rayon, et un cube est décrit par les équations des plans qui le délimitent dans l'espace. Dans le même esprit, un diamètre et une longueur suffisent pour définir un cylindre. Les deux avantages principaux de cette approche sont une faible consommation mémoire et la perfection obtenue dans les formes mathématiques.

Un modeleur volumique est basé soit sur un modèle mathématique CSG (Constructive Solid Geornetry), soit sur une représentation par limites (Boundary Representation). Dans tous les cas, la modélisation fait appel aux opérations booléennes sur les solides. Ces opérations logiques (addition, soustraction, union, intersection) permettent de sculpter les formes : l'intersection de deux sphères donne par exemple une lentille. Les modeleurs volumiques sont souvent utilisés en CAO, car la plupart des pièces mécaniques peuvent être obtenues avec ces techniques.

 

L’inconvénient majeur d'un modeleur volumique est son manque de souplesse. Les formes dites libres, irrégulières, organiques, sont souvent impossibles à réaliser uniquement par opérations booléennes. Dans l'industrie automobile et aéronautique, on s'est très vite rendu compte de ce problème, et de nombreuses études ont été réalisées pour le résoudre. La solution prend la forme des surfaces paramétriques.

L’exemple de la sphère :
Un cercle de rayon r et de centre (x ,y ,z ) a pour équation :
(x-x ) +(y-y ) +(z-z ) =r ,
ou
x +y +z -2xx -2yy -2zz +x  +y  +z  -r =0.

Au contraire, une équation de la forme :
x +y +z +2dx+2ey+2fz+g=0
définie une sphère si
•    d +e +f >g
•    le centre est (-d, -e, -f) et le rayon

Quatre points située sur un plan différent déterminent une unique sphère.
Si les points ont comme coordonnés (x ,y ,z ), (x ,y ,z ), (x ,y ,z ) et (x ,x ,z ), l’équation de la sphère est


 
Deux points donnés P =(x ,y ,z ) et P =(x ,y ,z ), il y a une unique sphère de diamètre P P  ; son équation est :
(x-x )(x-x )+(y-y )(y-y )+(z-z )(z-z )=0.
L’aire de la sphère de rayon r est 4 r , et le volume est   r .
L’aire d'un polygone sphérique (c'est-à-dire, d'un polygone sur la sphère dont les côtés sont les arcs des grands cercles) est


où r est le rayon de la sphère, n est le nombre de sommets, et  sont les angles internes des polygones en radians. En particulier, la somme des angles d'un triangle sphérique est toujours plus grande que 180°, et l'excès est proportionnel à l’aire.

Chapeau Sphérique
Soit  r le rayon (Figure 1, gauche). L’aire de la zone curviligne est 2 rh= p . Le volume du chapeau est   h  (3r-h)=    h(3a +h ).

Zone sphérique (de deux bases)
Soit le rayon r (Figure 1, centre). L’aire de la zone curviligne est 2 rh. Le volume de la zone est   h(3a +3b +h ).

Segment sphérique et lune
Soit le rayon r (Figure 1, droite). L’aire de la zone curviligne est (lune) est 2r  , l’angle étant mesuré en radians. Le volume du segment est  r  .

 

Figure 1    gauche: un chapeau sphérique.
    centre: une zone sphérique (de deux bases).    droite: un segment sphérique.