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Modélisation à base de surfaces paramétriques

La représentation des surfaces molles ou organiques a toujours constitué un défi pour l'informatique graphique. Les volumes manquent de souplesse, et les polygones sont très gourmands en ressources. D'où l'idée de travailler avec des courbes et des surfaces 3D, les patches.

Une courbe paramétrique est définie par l'équation Q(u) = (X(u), Y(u), Z(u)) où X, Y et Z sont des fonctions à une variable et u un paramètre que l'on fait varier entre 0 et 1. De même, une surface paramétrique est définie par Q(u,v) = (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)). Cette fois, il y a deux paramètres à faire varier: u et v. Si l'on garde v constant en faisant varier u entre 0 et 1, on obtient une courbe en 3D. Et si l'on fait varier à son tour v entre 0 et 1, on obtient une infinité de courbes qui forment une surface en 3D.

Les courbes paramétriques utilisées en infographie sont des polynômes de degré 3, ou cubiques, de la forme Q(u) = c0 + c1u + c2u2 + c3u3.

Un élément de surface paramétrique est défini lorsque u et v prennent toutes les valeurs possibles entre 0 et 1. Cet élément est nommé patch.

Historiquement, la théorie des courbes et des surfaces a fait de grands progrès grâce à Pierre Bézier, mathématicien français créateur du logiciel UNISURF chez Renault au début des années 70. Les courbes de Bézier, et les Bézier patches sont modifiés en manipulant des points de contrôle répartis le long de la courbe.

Par rapport à une courbe de Bézier, le déplacement d'un point de contrôle d'une courbe B Spline ne modifie son allure générale que localement. Les courbes B splines sont dites uniformes, et manquent un peu de souplesse.

Une autre variété, la Beta Spline, introduit quant à elle les notions de tension et de biais, qui permettent d'ajuster la forme de la courbe en plus du déplacement des points de contrôle.


 
Les Non Uniform Rational B Splines ou NURBS sont plus souples, puisqu'elles peuvent être modifiées précisément en tout endroit de la courbe, autorisant la création de véritables formes libres (freeform surfaces). Une spline simple ne peut être altérée avec précision qu'aux seuls points de contrôle.

Finalement, au moment du rendu, les surfaces paramétriques sont converties en maillages de polygones grâce à un algorithme de subdivision adaptatif. Cette conversion permet ainsi d'utiliser les algorithmes de rendu rapides basés sur un modèle polygonal. Avec la subdivision des patches en polygones, on peut alors bénéficier des qualités esthétiques des courbes pendant la modélisation et de la vitesse de rendu propre aux polygones.